Entenda o modelo de Solow

Entenda o modelo de Solow

lucca

21 JAN

5 MIN

Entenda o modelo de Solow

Olá, investidor! No artigo de hoje, vamos falar sobre um dos principais modelos de crescimento econômico: o modelo de Solow.

Para facilitar sua compreensão, vamos tratar dos seguintes tópicos nesse texto:

  • O que é o modelo de Solow?
  • Premissas
  • A função de produção por trabalhador
  • O estoque de capital
  • Conclusão

O que é o modelo de Solow?

Durante muito tempo, buscou-se entender por que alguns países cresceram mais que outros. Após a segunda guerra, a Alemanha e o Japão, ambos derrotados, tiveram taxas de crescimento maiores que os vencedores da guerra. Por que?

O modelo de crescimento de Solow, criado pelo economista e vencedor do Prêmio Nobel, Robert M. Solow, foi uma das primeiras tentativas de explicar o crescimento de uma economia no longo prazo. Considerado um modelo neoclássico, ele busca explicar o crescimento por meio de fatores importantes como: produtividade (z), estoque de capital, trabalho (N) e poupança (S).

Vale notar que na versão “básica” do modelo de Solow,  a tecnologia (A) é um componente exógeno, que não interfere no encontro das variáveis de interesse. Contudo, em versões mais robustas, a tecnologia passa a ser incorporada.

Premissas

Sabemos que todo modelo é uma simplificação da realidade. Com isso, o modelo (básico) de crescimento de Solow adota algumas premissas para tentar entender o crescimento de longo prazo. Vamos tratar delas a seguir.

Consumidores

Diferente do modelo Malthusiano, no modelo de Solow a população de consumidores aumenta ao longo do tempo a uma taxa n.

Onde:

N’ = População no futuro

N(1) = População no período corrente

n = Taxa de crescimento populacional

Além disso, diferente de outros modelos clássicos, assumimos que o consumidor não tem lazer e todos os consumidores trabalham (não existe desemprego). Também não há governo e impostos e os trabalhadores recebem igualmente o que produzem como renda.

Sendo assim, assumimos que o consumidor representativo consome uma parte de sua renda em cada período, escolhendo entre poupar (s) ou consumir (c).

Além disso, podemos destacar:

  • Os agentes  produzem e consomem um único bem representativo;
  • Não há comércio entre eles;
  • A poupança antecede o investimento, logo o investimento é determinado pela poupança;
  • Os agentes poupam uma fração constante da renda e ela é toda investida (I = sY);
  • A tecnologia é exógena. Não sendo determinada pelos países mas por fatores externos e sendo idêntica para todos eles;

A função de produção por trabalhador

O modelo básico de Solow com crescimento exógeno se baseia na função de produção clássica:

Onde:

Y: O produto corrente
K: Estoque de Capital
N: Trabalho/Número de trabalhadores
z: Produtividade total dos fatores

Do lado das firmas, um objetivo comum do modelo é determinar o produto por trabalhador. Para isso, precisamos verificar se a função possui retornos constantes de escala. Sendo o caso, dividimos toda a equação pelo número de trabalhadores N:

Temos agora o produto por trabalhador (Y/N) e o capital por trabalhador (K/N). Assim, poderíamos então simplificar o produto como função do trabalho:

Uma prática comum nas notações do modelo de Solow é representar as variáveis por trabalhador por letras minúsculas (Y/N se torna y e K/N se torna k).

A inclinação da curva de uma função da função de produção é dada pelo produto marginal do capital (PMk). Sendo assim, o produto marginal é decrescente (a primeira derivada é positiva e a segunda é negativa).

Vemos que o produto aumenta com um aumento no estoque de capital mas de forma decrescente.

O estoque de capital

Também assumimos que o estoque de capital deprecia-se a uma taxa constante, dada por d. Onde 0 < d < 1. Com isso, temos que o capital futuro (K’) é dado pelo capital no período corrente (K) descontado da depreciação e somado ao investimento:

O equilíbrio

Agora que conhecemos as premissas, podemos verificar como se daria o equilíbrio competitivo no modelo de Solow. Uma das premissas mais básicas é de que a economia não possui governo ou imposto, logo, o produto agregado seria dado por:

Substituindo as equações que encontramos anteriormente, tanto a de estoque de capital (isolando o I) quanto a do consumidor, temos:

Isolando em relação a K’:

Encontramos que o capital no futuro é igual a poupança no período corrente somada ao capital que resta após a depreciação. Podemos também substituir a função de produção na equação acima:

Mas, como feito anteriormente, um dos interesses do modelo é avaliar as variáveis por trabalhador. Vamos, então, encontrar o capital no período futuro por trabalhador dividindo toda equação por N (número de trabalhadores):

Agora, vamos usar um artifício matemático, multiplicando o lado esquerdo por N’/N’:

Por convenção, substituiremos as variáveis divididas por N por letras minúsculas:

Agora, dividindo toda a equação por (1+N) encontraremos uma equação-chave:

Com ela, notamos que o capital futuro (k’) é função do estoque de capital corrente (k). Relação que pode ser vista melhor graficamente:

No ponto em destaque acima, o capital futuro (por trabalhador) se iguala ao estoque de capital presente (por trabalhador) e a economia chega ao estado estacionário. O modelo de Solow prevê que a quantidade de capital por trabalhador converge para k* no longo prazo.

Estado estacionário

O estado estacionário em uma economia é atingido quando o investimento se iguala a depreciação. Cada unidade de capital cria uma quantidade igual de depreciação.

O problema é que a depreciação tem retornos constantes e o capital tem retornos marginais decrescentes. Assim, chega um ponto onde a curva de investimento se intercepta com a curva de depreciação:

No ponto de equilíbrio, nenhum capital é criado e todo o investimento é usado para reparar o capital existente.

Para direita do ponto de equilíbrio, a depreciação é maior que o investimento e não há dinheiro suficiente para reparar o capital existente. Com a depreciação, o estoque de capital diminui, voltando para o equilíbrio (k*).

Para a esquerda do ponto de equilíbrio, o investimento ainda é menor que a depreciação, o que leva o estoque de capital a crescer em direção ao nível de equilíbrio (k*).

Conclusão

Portanto, o modelo de crescimento de Solow prevê que, no longo prazo, todas as economias convergem para um estado estacionário. Contudo, países com diferentes taxas de poupança, produtividade e populações trabalhistas possuem estados estacionários diferentes.

O crescimento entre os países é diferente por conta de mudanças em cada uma dessas variáveis. O modelo é relativamente simples, mas é base para toda a área de desenvolvimento econômico, sendo quase sempre o primeiro modelo deste campo apresentado para estudantes de graduação.

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Referências

Williamson, S. D. (2002). Macroeconomics. Boston: Addison Wesley.

Estudante de Economia na UFPE

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