Teoria das Carteiras: relação risco x retorno e seu desvio padrão - TC

TC School / Análise Fundamentalista

Introdução à Teoria das Carteiras

10/05/2021 às 16:00

TC School

A teoria das carteiras foi elaborada para estudar a relação entre retorno e risco dos ativos. Esta assume que o investidor está preocupado em maximizar o retorno e minimizar a variância.

Já a carteira ótima é aquela que apresenta a melhor relação retorno/risco, sendo que a teoria da carteira expressa o ganho de diversificação dos investimentos em diferentes ativos que possuem baixa covariância.

Desta forma, no artigo a seguir, elencamos conceitos importantes sobre a teoria das carteiras a fim de auxiliar o investidor a obter melhores rendimentos, adequando sua estratégia de investimentos. Você irá encontrar:

  • Introdução à teoria das carteiras
  • A variância e os retornos esperados
  • Cálculo da variância e dos retornos médios
  • A carteira ótima

Boa leitura!

teoria das carteiras

Introdução à teoria das carteiras

“Se eu possuir 20 ações e quiser montar a melhor combinação entre elas para aumentar meu retorno esperado e não tomar nenhum susto, como eu posso fazer isso?” Uma pergunta similar foi realizada em 1952 na Universidade de Chicago por Harry Markowitz. Neste artigo, vamos mostrar a ideia que ele teve para solucionar esse problema.

A ideia desse texto é tão importante para as finanças modernas que servirá como base para diversos artigos posteriores. Ela faz a relação entre risco e retorno esperado, sendo o risco definido como a variância dos retornos.

Além desta introdução, o restante do artigo é composto por 3 partes. Na seção seguinte, falaremos do risco e os retornos esperados. Em seguida, temos uma seção sobre a covariância entre os retornos e o poder da diversificação. Por fim, temos uma aplicação da ideia para o caso brasileiro.

A variância e os retornos esperados

Por volta dos anos 50, um economista chamado Harry Markowitz tentou responder a pergunta que fizemos no início deste artigo e iniciou a Moderna Teoria do Portfólio.

A Moderna Teoria do Portfólio (Modern Portfolio Theory) é uma teoria sobre como os investidores avessos ao risco podem construir carteiras para maximizar o retorno esperado com base em um determinado nível de volatilidade dos retornos. Mais tarde, Markowitz recebeu o Prêmio Nobel por seu trabalho sobre a teoria moderna de portfólio.

A demonstração completa do modelo vai além do escopo deste artigo, mas vamos entender a ideia por trás dessa história. Primeiro, assuma que o investidor quer retorno! Segundo, assuma que o investidor não gosta de retornos que variam muito!

Agora, imagine dois ativos quaisquer A e B. O ativo A apresentou os seguintes retornos passados nos últimos t anos: 10% de retorno anual médio e 0.15 de variância dos retornos anuais durante o período. Já o ativo B apresentou um retorno anual médio de 10% e uma variância dos retornos de 0.25. Dados os dois ativos, se fosse escolher apenas um deles, qual você iria escolher?

Elaboração própria.

Provavelmente, você iria escolher a primeiro, já que temos um retorno médio de 10% para ambos. Porém, o ativo B apresenta uma maior variância dos retornos anuais. Se o ativo tem maior variância, existe um intervalo maior para o retorno variar. (Observação: No final desta seção temos um tópico breve sobre como calcular a variância e retorno médio.)

Retorno do portfólio

Agora vem a questão: se combinarmos os dois ativos? Neste caso, Harry Markowitz propôs na teoria das carteiras, que o retorno de um portfólio formado por dois ativos é dado por:

Em que, o retorno do portfólio é dado pela ponderação (Wn) entre os retornos individuais (Rn). Então, se alguém tem R$ 10.000,00 e investe R$ 5.000,00 em cada ativo A e B, temos os seguintes retornos esperados:

Fórmula da variância

Já a variância esperada da carteira não é a simples ponderação das variâncias individuais (σn). Ela é a dada por:

Em resumo: Na estatística, a média dos retornos passados é o melhor estimador para os retornos futuros. A variância esperada é uma medida decente para mensurar o risco do ativo. A covariância é uma medida que expressa o grau de associação entre os retornos dos dois ativos.

Elaboração própria.

Vamos dizer que a covariância seja de 0,15. Novamente, vamos aplicar na fórmula da variância para descobrir a variância da carteira.

Var(Rp) = 0,0963 = (0,5)²(0,15)² + (0,5)²(0,25)² +2(0,5)(0,5)(0,15)

O que aconteceu? Note que, ao combinarmos dois ativos A e B que possuem o mesmo retorno esperado, mas correlação baixa, obtivemos uma carteira com variância menor.

O quadro abaixo mostra a relação entre retorno e desvio padrão (que nada mais é que a raiz quadrada da variância). Note que segundo a teoria das carteiras, este portfólio tem uma relação retorno/risco maior que os ativos individuais.

Elaboração própria.

O cálculo da variância e dos retornos médios

Queremos comunicar de maneira simples, prática e o mais acessível possível para todos os públicos. Portanto, para complementar o tema, abaixo elencamos um estudo que fizemos sobre o cálculo da variância e dos retornos médios.

  • Retornos Médios

A fórmula dos retornos médios é dada por,

Em que, Ri é o retorno diário, mensal, semanal ou anual. N é o número de períodos válidos.

  • Variância

A variância da amostra é dada por,

  • Covariância

Por fim, a covariância da amostra é dada pela fórmula abaixo.

Vamos usar as duas fórmulas no exemplo abaixo com os ETF’s IVVB11 e o BOVA11 entre agosto de 2020 até dezembro de 2020.

Fonte: Yahoo Finance.

O poder da diversificação

Na estatística, a covariância mede o grau de interdependência numérica entre duas variáveis aleatórias. Em finanças, assumimos que o investidor quer reduzir o risco e aumentar o retorno. Ele não pode mudar o retorno esperado das ações individuais, nem a variância ou a covariância. O que ele pode mudar é a alocação nos ativos, escolhendo alocar em ativos mais ou menos arriscados.

Neste ponto, ao escolher ativos com menor correlação, ele buscará uma carteira menos arriscada. Como ficaria a fórmula com mais de dois ativos? Sabemos que a fórmula dos retornos não vai mudar muito. Ela será a média ponderada dos ativos.

Então, para N ativos, temos a fórmula dos retornos.

E a fórmula da variância do portfólio? A fórmula para a variância de uma carteira formada por vários ativos pode ser vista como uma extensão da fórmula para a variância de dois ativos. Se a variância com 2 ativos é dada por:

Adicionando um ativo C, vamos ter mais um termo de variância (σ²c), mais um termo de pesos W²c e mais e mais dois termos de covariância entre A com C e B com C. Confira abaixo:

Quanto mais ativos colocamos no portfólio, maior será a fórmula. Em um momento, a melhor forma de solucionar o problema acima é por meio da álgebra linear. Porém, para simplificar vamos usar uma matriz de variâncias e covariâncias.

Supondo que haja N ativos, escrevemos os números de 1 a N no eixo horizontal e 1 a N no eixo vertical. Isso cria uma matriz de N² observações, onde a variância da carteira é a soma dos termos de todas as observações.

Elaboração própria.

A variância da carteira

A variância da carteira é a soma de todos os termos da matriz acima. Os termos que envolvem a variância de um título individual aparecem na diagonal (em cinza). Os termos que envolvem a covariância entre dois títulos aparecem fora da diagonal.

O número de termos na diagonal (número de termos de variância) é sempre igual ao número de ações da carteira. O número de termos fora da diagonal (número de termos de covariância) sobe muito mais rápido que o número de termos na diagonal. Por exemplo, uma carteira com 100 ações apresenta 9.900 termos de covariância.

Logo, a variância dos retornos de uma carteira com vários títulos depende mais das covariâncias entre os títulos individuais do que das variâncias dos títulos individuais.

Abaixo, temos uma tabela que mostra a quantidade de termos na matriz de acordo com a quantidade de ativos. Segmentamos por termos de variância e termos de covariância.

Elaboração própria.

Variância no Ibovespa

Como pode ser visto, para calcular a variância de uma carteira com a quantidade de ativos pertencentes ao Ibovespa, devemos calcular a variância de 84 ativos e 6.972 termos de covariância.

É óbvio que fazer isso sem o auxílio de um computador seria absurdo.

A carteira ótima

Certo, sabemos que o investidor quer maximizar o retorno e minimizar o risco, mas como ele fará isso? Primeiro, temos que entender o que é uma carteira ótima.

Desta forma, se tivermos um horizonte de N ativos, a carteira ótima será aquela que aumenta o retorno e reduz o risco e que é melhor que qualquer outra carteira que tenha uma relação retorno/risco menor.

A fronteira eficiente é o conjunto de carteiras ótimas que oferecem o maior retorno esperado para um determinado nível de risco ou o menor risco para um determinado nível de retorno esperado.

Fronteira eficiente

A figura abaixo apresenta uma representação da fronteira eficiente. A fronteira eficiente, em azul, é a melhor combinação possível que maximiza a relação retorno/risco.

As carteiras que estão abaixo da fronteira eficiente (linha vermelha) estão abaixo do ideal porque não fornecem retorno suficiente para o nível de risco. Ou seja, pelo mesmo nível de risco, poderíamos ter uma carteira com retorno maior.

Já as carteiras que se agrupam à direita da fronteira eficiente, ou seja, fora da fronteira, são sub ótimas por apresentarem um nível de risco maior para a taxa de retorno definida.

Elaboração própria.

Note que: quando o desvio padrão é igual a zero, teoricamente, temos o ativo livre de risco (Rf). Agora vem algo interessante: quando temos um ativo livre de risco (Rf), o investidor pode combinar uma carteira que está na fronteira com este ativo livre de risco.

Por definição, um ativo livre de risco possui desvio padrão ou variância igual a zero, ou seja, o retorno esperado é o mesmo do retorno. O investidor terá a certeza de que irá receber o retorno livre de risco.

Como esse retorno livre de risco não varia, ele não apresenta covariação com os outros ativos. Senso assim, a relação retorno/risco ao combinar ativos com risco e o ativo livre de risco será dado pela reta que vai da carteira selecionada até o ativo livre de risco.

Carteira de mínima variância global

Para exemplificar, vamos dizer que alguém escolheu combinar a carteira com risco que está no extremo da relação retorno/risco (podemos chamar essa carteira de carteira de mínima variância global). Chamaremos de “mvg“.

Note que, se o investidor optar por combinar a carteira “mvg” com a Rf, ele não fará a melhor escolha, visto que ele poderia obter um retorno maior combinando a carteira Rm com o ativo livre de risco. Em outras palavras, a carteira formada pela ponderação entre Rm e o ativo livre de risco, domina as outras carteiras na relação retorno/risco.

No final, se a combinação entre a Rm e a Rf é a melhor combinação possível, seria lógico supor que as pessoas fossem investir em alguma ponderação desta carteira.

Considerações finais

Um investidor em busca de risco selecionaria investimentos que se situam na extremidade direita da fronteira eficiente, que é preenchida com títulos que devem ter muito risco, juntamente com um alto potencial de retorno. Por outro lado, um investidor avesso ao risco selecionaria investimentos que se encontram na extremidade esquerda da fronteira eficiente, onde residem os títulos com menor risco, mas menor retorno.

Com a adição de um ativo, teríamos apenas uma carteira ótima: a carteira formada pela combinação entre a carteira Rm e a carteira Rf. Porém, precisamos falar que a teoria nem sempre é tão perfeita na prática: no mundo real, a covariância entre os ativos não é fixa. O retorno esperado varia com o tempo e a variância estimada pode mudar no futuro. Sendo assim, a relação que apresentamos na figura muda com o tempo.

No final, a teoria serve para fundamentarmos a ideia de que a diversificação com ativos descorrelacionados é importante para reduzir o risco e melhorar a relação retorno/risco.

Referências

Markowitz, H. (1952), Portfolio selection*. The Journal of Finance, 7: 77-91. https://doi.org/10.1111/j.1540-6261.1952.tb01525.x

Lucas Nogueira
Lucas Nogueira
Analista de conteúdo do TC School
Mestre em Finanças pelo PPGA/UFPB2

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