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Calculando o Beta em Python

04/03/2021 às 10:00

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Dando sequência ao estudo de Python, iniciaremos agora uma abordagem mais aplicada a finanças. Já temos alguns textos introduzindo a linguagem na categoria Quant & Investimentos, então, se você ainda não entende como funciona um script básico, dá uma olhada lá antes de seguir a leitura.

Hoje iremos discutir o cálculo do beta de um portfólio, o coeficiente angular do modelo do CAPM de Sharpe (1977), discutindo por Filipe Duarte em Python: Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) , sem a necessidade de realizar a regressão. Para isso, este artigo está dividido em 2 partes:

  • Portfólio com retornos conhecidos
  • Portfólio sem retornos conhecidos
  • Cálculo do Beta no Python

Boa leitura!

Calcular o Beta usando Python

Antes de iniciarmos o código, precisamos entender que o beta é calculado da seguinte forma:

Em que:

  • β é o beta do portfólio i em relação ao índice de mercado m;
  • COV(r,R) é a covariância entre os retornos do portfólio (r) e do mercado (R);
  • VAR (R) é a variância dos retornos do mercado.

Importando bibliotecas e buscando dados

Tendo isso em mente, vamos precisar importar:

  • a biblioteca pandas para manipular DataFrames;
  • a biblioteca pandas-datareader para acessar a API gratuita de cotações do Yahoo;
  • o módulo random da biblioteca numpy para gerar retornos;
  • a função cov da biblioteca numpy para calcular a covariância;
  • a função variance da biblioteca statistics para calcular a variância.

Buscaremos, primeiramente, as cotações de fechamento para cada mês dos últimos 60 do Ibovespa (o considerando como representação do mercado) através da interface para a API do Yahoo:

Entretanto, o que nos interessa são os retornos mensais. Para isso, definiremos uma função que realiza tal cálculo:

Para quem deseja escrever um código mais eficiente, a função retornos pode ser escrita como uma função lambda, da seguinte forma:

Com isso, podemos aplicar a função e encontrar nossos retornos:

Agora podemos começar a pensar no nosso beta.

Portfólio com retornos conhecidos

Considere que sua carteira obteve os seguintes retornos mensais nos últimos 60 meses (5 anos):

Com isso, podemos calcular o beta do nosso portfólio aplicando a fórmula de Sharpe descrita anteriormente.

De uma forma direta, conseguimos descobrir o beta do nosso portfólio.

Portfólio sem retornos conhecidos

Contudo, a facilidade apresentada anteriormente se torna mais distante quando o investidor não sabe ao certo quais foram suas rentabilidades mensais dos últimos períodos.

Para tanto, calcularemos o beta do portfólio como a média ponderada dos betas dos ativos que o compõem.

Suponha, então, que seu portfólio é composto pelos seguintes ativos:

  • ITSA4 (12%)
  • B3SA3 (11%)
  • EGIE3 (11%)
  • KLBN11 (10%)
  • WEGE3 (9%)
  • MDIA3 (9%)
  • LREN3 (8%)
  • VVAR3 (8%)
  • AAPL34 (6%)
  • BERK34 (6%)

Além disso, você manteve 10% em caixa.

Em seguida, iremos calcular cada beta individualmente encapsulando a fórmula do beta em uma função (beta) e colocando-a dentro de um laço para calcular de todos os ativos.

Agora, já temos os betas de cada ativo, como podemos ver abaixo:

O beta de ITSA4 é 1.11
O beta de B3SA3 é 0.99
O beta de EGIE3 é 0.67
O beta de KLBN11 é 0.28
O beta de WEGE3 é 0.55
O beta de MDIA3 é 0.73
O beta de LREN3 é 0.97
O beta de VVAR3 é 1.84
O beta de AAPL34 é -0.25
O beta de BERK34 é -0.23

Vamos agora calcular a média ponderada dos betas.

O beta do portfólio é 0.656

Considerações finais

Aprendemos, então, que para calcular o beta de um portfólio qualquer, basta aplicar o cálculo de forma direta utilizando os retornos do mercado e do portfólio. Todavia, caso o investidor não saiba quais são seus retornos, é possível calculá-lo através da média ponderada do beta de cada ativo que compõe a carteira.

Referências

[1] SHARPE, William F. The capital asset pricing model: a “multi-beta” interpretation. In: Financial Dec Making Under Uncertainty. Academic Press, 1977. p. 127-135.

Vitor Braga Diniz
Estagiário do TC Matrix. Graduando em Ciência da Computação pela Universidade Federal de Campina Grande (UFCG)

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